Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt/Beweis2

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Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Multilinearität.
(3) folgt aus


Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur -ten Zeile das -fache der -ten Zeile addiert wird, . Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann


(5). Wenn ein Diagonalelement null ist, so sei . Zu der -ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der -ten Zeilen, , erreichen, dass aus der -ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann null sein. Wenn kein Diagonalelement null ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist