Dezimalbrüche/Approximation/Textabschnitt
Eine wichtige Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen war, beliebige Längen, die beispielsweise bei der gleichmäßigen Unterteilung einer gegebenen Strecke auftreten, möglichst gut messen zu können. Dies können wir erst dann präzise formulieren, wenn wir die reellen Zahlen zur Verfügung haben. Die folgende Aussage zeigt, dass man rationale Zahlen selbst schon beliebig gut mit Dezimalbrüchen approximieren (annähern) kann. Wenn es also nur darum geht, beliebige Längen approximativ zu beschreiben, so sind die Dezimalbrüche genauso gut wie die deutlich größere Menge aller rationalen Zahlen.
Lemma
Zu jeder rationalen Zahl und jedem
gibt es ein eindeutig bestimmtes derart, dass
gilt.
D.h., dass man jede rationale Zahl beliebig gut (nämlich mit einem Fehler, der maximal gleich ist) durch Dezimalbrüche approximieren kann.
Beweis
Es sei
Dann ist
Division durch ergibt die Behauptung. Der Zusatz ergibt sich daraus, dass man nach Fakt jede beliebige positive Fehlergenauigkeit durch eine geeignete Zehnerpotenz mit einem negativen Exponenten unterbieten kann.
In diesem Satz gibt das über die Potenz vor, wie groß der Fehler sein darf. Man sagt dann auch, dass die Approximation bis zur -ten Nachkommaziffer genau ist.
Es sei . Wenn man beispielsweise einen Taschenrechner mit acht Nachkommastellen hat, so ergibt sich zu die Zahl als Ergebnis, wenn man eingibt und das Komma in der Darstellung ignoriert.
Beispiel
Wir wenden Fakt auf mit an. Eine Rechnung des Taschenrechners mit menschlichen Korrekturen liefert
Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also eine Approximation des wahren Bruches mit einem Fehler, der kleiner als ist.
Die Rechnung im vorangehenden Beispiel beruht auf dem Divisionsalgorithmus, den wir noch nicht besprochen haben. Fakt besagt, dass es eine solche eindeutig bestimmte Zahl geben muss. Dass die angeführten Abschätzungen gelten, kann man einfach überprüfen, indem man die beiden Dezimalzahlen mit multipliziert.
Mit der Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalzahlen geht die Dezimalrundung einher. Bei der Rundung auf eine ganze Zahl schaut man einfach nach der ganzzahligen Approximation im Sinne von Fakt und nimmt von der unteren und der oberen Approximation diejenige, die näher ist (wobei man bei gleichem Abstand aufrundet). Bei der Dezimalrundung von zur Stellenanzahl (bzw. zur Genauigkeit ) führt man dies für die Nenner bzw. in der Approximation aus Fakt durch. Die Zahl ist beispielsweise auf zwei Nachkommastellen gerundet gleich . Häufig finden sich auch Rundungsangaben von der Form .
