Dezimalbruchfolge/R/Konvergiert/Eindeutigkeit/Fakt

1. Jede Dezimalbruchfolge konvergiert gegen eine eindeutig bestimmte reelle Zahl.
2. Zu jeder reellen Zahl ${}x$ konvergiert die durch

   ${}x_{n}=\left\lfloor x\cdot 10^{n}\right\rfloor \cdot 10^{-n}\,$

   gegebene Dezimalbruchfolge gegen ${}x$.

3. Zwei verschiedene Dezimalbruchfolgen  ${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}w_{-i}10^{-i}$  und  ${}y_{n}={\frac {b_{n}}{10^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}$  konvergieren genau dann gegen die gleiche Zahl ${}x$, wenn es ein  ${}k\in \mathbb {N}$  gibt mit

   ${}w_{-i}=z_{-i}\,$

   für  ${}-i>-k$, 

   ${}z_{-k}\neq 9\,$

   und

   ${}w_{-k}=z_{-k}+1\,$

   und

   ${}w_{-i}=0\,$

   und

   ${}z_{-i}=9\,$

   für  ${}-i<-k$  (oder umgekehrt).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen