Dezimalbruchfolge/R/Konvergiert/Eindeutigkeit/Fakt

1. Jede Dezimalbruchfolge konvergiert gegen eine eindeutig bestimmte reelle Zahl.
2. Zu jeder reellen Zahl $x$ konvergiert die durch

   $x_n=\lfloor x\cdot 10^n\rfloor \cdot 10^{-n}$

   gegebene Dezimalbruchfolge gegen $x$.

3. Zwei verschiedene Dezimalbruchfolgen  $x_n=\frac{a_n}{10^n}=\sum _{i=0}^n{w}_{-i}10^{-i}$  und  $y_n=\frac{b_n}{10^n}=\sum _{i=0}^n{z}_{-i}10^{-i}$  konvergieren genau dann gegen die gleiche Zahl $x$, wenn es ein  $k\in \mathbb{N}$  gibt mit

   $w_{-i}=z_{-i}$

   für  $-i>-k$, 

   $z_{-k}\ne 9$

   und

   $w_{-k}=z_{-k}+1$

   und

   $w_{-i}=0$

   und

   $z_{-i}=9$

   für  $-i<-k$  (oder umgekehrt).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen