Dezimalbruchfolge/R/Konvergiert/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis
  1. Dies folgt aus Fakt und der Vollständigkeit von .
  2. Dies wurde in Fakt bewiesen.
  3. Eine Dezimalbruchfolge der Form

    konvergiert gegen , daher konvergieren die beiden Folgen gegen den gleichen Grenzwert. Wenn die beiden Cauchy-Folgen gegen die gleiche reelle Zahl konvergieren, so muss ihre Differenz eine Nullfolge sein. Eine Dezimalbruchfolge erfüllt die Abschätzungen

    somit gilt für den Grenzwert insbesondere

    Wenn sich die beiden Dezimalbruchfolgen unterscheiden, so gibt es einen vordersten Index , wo sie sich unterscheiden. Es ist dann (ohne Einschränkung) . Wenn sie gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, so muss wegen den Abschätzungen

    also sein. Dies erzwingt und die weiteren Bedingungen.