Dezimalbruchfolge/R/Konvergiert/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies folgt aus Fakt und der Vollständigkeit von $ℝ$.
2. Dies wurde in Fakt bewiesen.
3. Eine Dezimalbruchfolge der Form

   $\frac{10^n-1}{10^n}$

   konvergiert gegen $1$, daher konvergieren die beiden Folgen gegen den gleichen Grenzwert. Wenn die beiden Cauchy-Folgen gegen die gleiche reelle Zahl konvergieren, so muss ihre Differenz eine Nullfolge sein. Eine Dezimalbruchfolge erfüllt die Abschätzungen

   $\frac{a_n}{10^n}\le \frac{a_{n+1}}{10^{n+1}}<\frac{a_n+1}{10^n},$

   somit gilt für den Grenzwert $x$ insbesondere

   $\frac{a_n}{10^n}\le x\le \frac{a_n+1}{10^n}.$

   Wenn sich die beiden Dezimalbruchfolgen unterscheiden, so gibt es einen vordersten Index $-k$, wo sie sich unterscheiden. Es ist dann (ohne Einschränkung)  $a_k>b_k$.  Wenn sie gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, so muss wegen der Abschätzungen

   $x\le \frac{b_k+1}{10^k}=\frac{a_k}{10^k},$

   also  $b_k+1=a_k$  sein. Dies erzwingt  $w_{-k}=z_{-k}+1$  und die weiteren Bedingungen.

Zur bewiesenen Aussage