Diagonalisierbare Gruppe/Hopf-Algebra/Graduierung/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}R[D]$ der zugehörige Gruppenring mit der in Beispiel beschriebenen Hopf-Struktur. Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra.

1. Es liege eine ${}D$-Graduierung von ${}A$ (als ${}R$-Algebra) vor. Zeige, dass durch

   $A\longrightarrow R[D]\otimes _{R}A,\,a_{d}\longmapsto T^{d}\otimes a_{d},$

   eine ${}R$-Kooperation der Hopf-Algebra ${}R[D]$ auf ${}A$ festgelegt wird.

2. Es liege eine ${}R$-Kooperation

   $N\colon A\longrightarrow R[D]\otimes _{R}A$

   von ${}R[D]$ auf ${}A$ vor. Zeige, dass durch

   ${}A_{d}:={\left\{a\in A\mid T^{d}\otimes a=N(a)\right\}}\,$

   eine ${}D$-Graduierung auf ${}A$ festgelegt wird.

3. Zeige, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind.

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