Kommutative Hopf-Algebra/Kooperation/Definition

Kooperation

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}H$ eine kommutative ${}K$-Hopf-Algebra und ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Unter einer Kooperation von ${}H$ auf ${}R$ versteht man einen ${}K$-Algebrahomomorphismus

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$

derart, dass die beiden Diagramme

${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\\!\!\!\!\!\!\!N\downarrow &&\downarrow \Delta \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}R&{\stackrel {\operatorname {Id} _{H}\otimes N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und

${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren.