Diagonalmatrix/Eigenwerte/Beispiel

Wir betrachten die durch eine Diagonalmatrix

${\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,e_{i}\longmapsto d_{i}e_{i}.$

Die Diagonaleinträge ${}d_{i}$ sind Eigenwerte von ${}\varphi$, und zwar ist der ${}i$-te Standardvektor ${}e_{i}$ ein zugehöriger Eigenvektor. Die Eigenräume sind

${}{\begin{aligned}\operatorname {Eig} _{d}{\left(\varphi \right)}&={\left\{v\in K^{n}\mid v{\text{ ist Linearkombination von solchen }}e_{i},{\text{ für die }}d=d_{i}{\text{ ist}}\right\}}\\\,\end{aligned}}$

Diese Räume sind genau dann von ${}0$ verschieden, wenn ${}d$ mit einem Diagonaleintrag übereinstimmt. Die Dimension der Eigenräume ist durch die Anzahl gegeben, wie oft der Wert ${}d$ in der Diagonalen vorkommt. Die Summe dieser Dimensionen ergibt ${}n$.