Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt, es bleibt nur noch die Verträglichkeit der Ordnung mit den Verknüpfungen zu zeigen. Sei

$[(a,b)]\ge [(c,d)],$

also  $ad\ge bc$,  und $[(e,f)]$ beliebig. Wegen  $f>0$  ist dann auch  $adf\ge bcf$  und somit

$\begin{array}{cc}[(a,b)]+[(e,f)]& =[(af+be,bf)]\\ & =[(adf+bde,bdf)]\\ & \ge [(bcf+bde,bdf)]\\ & =[(cf+de,df)]\\ & =[(c,d)]+[(e,f)].\end{array}$

Wenn  $[(a,b)]\ge 0$  und  $[(c,d)]\ge 0$  ist, so sind $a,c$ nichtnegativ und dann ist auch $ac$ nichtnegativ, also

$[(a,b)][(c,d)]=[ac,bd]\ge 0.$

Zur bewiesenen Aussage