Dies folgt aus Fakt und Fakt, es bleibt nur noch die Verträglichkeit der Ordnung mit den Verknüpfungen zu zeigen. Sei
also a d ≥ b c {\displaystyle {}ad\geq bc} , und [ ( e , f ) ] {\displaystyle {}[(e,f)]} beliebig. Wegen f > 0 {\displaystyle {}f>0} ist dann auch a d f ≥ b c f {\displaystyle {}adf\geq bcf} und somit
Wenn [ ( a , b ) ] ≥ 0 {\displaystyle {}[(a,b)]\geq 0} und [ ( c , d ) ] ≥ 0 {\displaystyle {}[(c,d)]\geq 0} ist, so sind a , c {\displaystyle {}a,c} positiv und dann ist auch a c {\displaystyle {}ac} positiv, also
![{\displaystyle {}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2391d3d11caaf252146ce25295282921cd03a980)
,
und ![{\displaystyle {}[(e,f)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950de1f8b81cd13973e091bc0624d31c8b02ec5b)
beliebig. Wegen
ist dann auch
und somit
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\,[(a,b)]+[(e,f)]&=[(af+be,bf)]\\&=[(adf+bde,bdf)]\\&\geq [(bcf+bde,bdf)]\\&=[(cf+de,df)]\\&=[(c,d)]+[(e,f)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6b12dc1c70b77480a7e369e6a845987eb0c4cd)
![{\displaystyle {}[(a,b)]\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a6b964ca907a4cac05f73b2f3c514df5e6621f)
und
![{\displaystyle {}[(c,d)]\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f31586de78745b4a1bd461ab37f6fe9e1100600)
ist, so sind 
positiv und dann ist auch 
positiv, also
![{\displaystyle {}[(a,b)][(c,d)]=[ac,bd]\geq 0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f572004cba1ea9b07ac97dd67c2e4a31ab809f)
