Diffeomorphismus/Transformationsformel/Kompakte Teilmengen/Volumen/Fakt

Die Transformationsformel für Volumina

Es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein ${}C^{1}$-Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante

${}(J(\varphi ))(x)=\det \left(D\varphi \right)_{x}\,$

für ${}x\in G$. Es sei ${}T\subseteq H$ eine (in ${}\mathbb {R} ^{n}$) kompakte Teilmenge.

Dann gilt

${}\lambda ^{n}(T)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen