Differentialgleichung/Linear/0 1 1 0/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist
${}\lambda ^{2}-1=(\lambda -1)(\lambda +1)\,,$

die Eigenwerte sind also ${}\pm 1$ . Ein Eigenvektor zu ${}1$ ist ${}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ein Eigenvektor zu ${}-1$ ist ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ . Nach Fakt sind somit ${}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ${}e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ Basislösungen des Systems.
Wir betrachten die beiden (linear unabhängigen) Linearkombinationen
${}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}+e^{-t}\\e^{t}-e^{-t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cosh t\\2\sinh t\end{pmatrix}}\,$

und

${}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}-e^{-t}\\e^{t}+e^{-t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\sinh t\\2\cosh t\end{pmatrix}}\,.$

Also bilden auch ${}{\begin{pmatrix}\cosh t\\\sinh t\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}\sinh t\\\cosh t\end{pmatrix}}$ ein Fundamentalsystem.
Die Anfangsbedingung führt auf
${}a{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}\,$

und somit auf ${}a={\frac {9}{2}}$ und ${}b=-{\frac {1}{2}}$ . Die Lösung des Anfangswertproblemes ist also

${}\varphi (t)={\frac {9}{2}}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\,,$

gegeben als Linearkombination zum ersten Fundamentalsystem.
Eine lineare Umrechnung ergibt

${}{\begin{aligned}\varphi (t)&={\frac {9}{2}}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {9}{2}}e^{t}-{\frac {1}{2}}e^{-t}\\{\frac {9}{2}}e^{t}+{\frac {1}{2}}e^{-t}\end{pmatrix}}\\&=4{\begin{pmatrix}\cosh t\\\sinh t\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}\sinh t\\\cosh t\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

dies ist die Darstellung im zweiten Fundamentalsystem.

Zur gelösten Aufgabe