Differentialgleichung/Linear/0 1 1 0/Aufgabe/Lösung

1. Das charakteristische Polynom ist

   ${}\lambda ^{2}-1=(\lambda -1)(\lambda +1)\,,$

   die Eigenwerte sind also ${}\pm 1$. Ein Eigenvektor zu ${}1$ ist ${}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ein Eigenvektor zu ${}-1$ ist ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$. Nach Fakt sind somit ${}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ${}e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ Basislösungen des Systems.

2. Wir betrachten die beiden (linear unabhängigen) Linearkombinationen

   ${}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}+e^{-t}\\e^{t}-e^{-t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cosh t\\2\sinh t\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}-e^{-t}\\e^{t}+e^{-t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\sinh t\\2\cosh t\end{pmatrix}}\,.$

   Also bilden auch ${}{\begin{pmatrix}\cosh t\\\sinh t\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}\sinh t\\\cosh t\end{pmatrix}}$ ein Fundamentalsystem.

3. Die Anfangsbedingung führt auf

   ${}a{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}\,$

   und somit auf ${}a={\frac {9}{2}}$ und ${}b=-{\frac {1}{2}}$. Die Lösung des Anfangswertproblemes ist also

   ${}\varphi (t)={\frac {9}{2}}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\,,$

   gegeben als Linearkombination zum ersten Fundamentalsystem.

   Eine lineare Umrechnung ergibt

   ${}{\begin{aligned}\varphi (t)&={\frac {9}{2}}e^{t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}e^{-t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {9}{2}}e^{t}-{\frac {1}{2}}e^{-t}\\{\frac {9}{2}}e^{t}+{\frac {1}{2}}e^{-t}\end{pmatrix}}\\&=4{\begin{pmatrix}\cosh t\\\sinh t\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}\sinh t\\\cosh t\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

   dies ist die Darstellung im zweiten Fundamentalsystem.

Zur gelösten Aufgabe