Differentialoperator/Ordnung 2/Hyperfläche/Potenzaddition/Ausdehnbarkeit/Beispiel

Sei

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,$

und ${}E$ ein Differentialoperator der Ordnung ${}2$ auf ${}R$. Dieser ist als Operator auf dem Polynomring der Form

$\sum _{i}G_{i}\partial _{i}+\sum _{i\leq j}H_{ij}\partial _{i}\partial _{j}$

gegeben und insbesondere durch die Wert auf den Variablen und quadratischen Monomen festgelegt. Es müssen ${}E(F)$ und die ${}E(X_{i}F)$ Vielfache von ${}F$ sein, sagen wir

${}E(F)=AF\,$

und

${}E(X_{i}F)=B_{i}F\,$

mit

${}A,B_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.$

Wir betrachten

${}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]/(F+U^{2})\,.$

Wir definieren ${}{\tilde {E}}$ auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]$ durch

${}{\tilde {E}}(X^{\mu })=E(X^{\mu })\,,$

${}{\tilde {E}}(U)=C\,,$

${}{\tilde {E}}(X_{i}U)=D_{i}\,$

und

${}{\tilde {E}}(U^{2})=L\,$

Dies legt einen Differentialoperator auf dem großen Polynomring fest. Dieser Operator is mit partiellen Ableitungen beschrieben gleich

$\sum _{i}G_{i}\partial _{i}+\sum _{i\leq j}H_{ij}\partial _{i}\partial _{j}+C\partial _{U}+\sum _{i}D_{i}\partial _{i}\partial _{U}+{\frac {1}{2}}L\partial _{U}\partial _{U}.$

Es ist

${}{\tilde {E}}(F+U^{2})=E(F)+{\tilde {E}}(U^{2})=AF+2CU+L\,.$

Das führt zur Bedingung

${}2CU+L=AU^{2}\,.$

Ferner kriegen wir nach Fakt die Bedingungen

${}{\begin{aligned}{\tilde {E}}(X_{i}(F+U^{2}))&={\tilde {E}}(X_{i}F)+{\tilde {E}}(X_{i}U^{2})\\&=E(X_{i}F)+X_{i}{\tilde {E}}(U^{2})+2U{\tilde {E}}(X_{i}U)-U^{2}{\tilde {E}}(X_{i})-2X_{i}U{\tilde {E}}(U)\\&=B_{i}F+X_{i}AU^{2}+2UD_{i}-U^{2}G_{i}-2X_{i}UC\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}{\tilde {E}}(U(F+U^{2}))&={\tilde {E}}(UF)+{\tilde {E}}(U^{3})\\&={\tilde {E}}(UF)+3U{\tilde {E}}(U^{2})-3U^{2}{\tilde {E}}(U)\\&={\tilde {E}}(UF)+3U^{3}A-3U^{2}C,\end{aligned}}$

um einen Operator auf ${}S$ zu induzieren. Mit dem Ansatz ${}C={\tilde {C}}U$ und ${}D_{i}={\tilde {D}}_{i}U$ werden die ersten Bedingungen erfüllt, wenn

${}X_{i}A+2{\tilde {D}}_{i}-G_{i}-2X_{i}{\tilde {C}}=B_{i}\,$

gilt, was man nach ${}{\tilde {D}}_{i}$ auflösen kann. Weiter ist

${}{\tilde {E}}(UF)=UE(F)+CF+\sum _{i}D_{i}\partial _{i}F\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}{\tilde {E}}(U(F+U^{2}))&={\tilde {E}}(UF)+3U^{3}A-3U^{2}C\\&=UE(F)+CF+\sum _{i}D_{i}\partial _{i}F+3U^{3}A-3U^{2}C\\&=U{\left(AF+{\tilde {C}}F+\sum _{i}{\tilde {D}}_{i}\partial _{i}F+3U^{2}A-3U^{2}{\tilde {C}}\right)}.\end{aligned}}$

Anderer Ansatz von Jacobi-Taylor-Matrix her.

${}D_{i}={\frac {1}{2}}UB_{i}\,,$

${}L=-\sum B_{i}\partial _{i}F\,$

und

${}2CU=AU^{2}-L=AU^{2}+\sum B_{i}\partial _{i}F\,.$