Beweis
Wenn
differenzierbar
ist, so setzen wir
-
![{\displaystyle {}s:=f'(a)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc00d8b5b20659975549cee94fbfdcc470a6accd)
Für die Funktion
muss notwendigerweise
-
![{\displaystyle {}r(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s{\text{ für }}x\neq a\,,\\0{\text{ für }}x=a\,,\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea170d9714cad8a3561943516fde74671d14eb51)
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
-
![{\displaystyle \operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}r(x)=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a,\,x\in D\setminus \{a\}}{\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-s\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae333cd2d1ccb3ac420df254f5b32eb79dd8993)
und hat den Wert
. Dies bedeutet, dass
in
stetig ist.
Wenn umgekehrt
und
mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=s+r(x)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a8f365e3fff5682ac08de4d0bb64f888f9f74c)
Da
stetig in
ist, muss auch der Limes links für
existieren.