Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wir schreiben $f$ bzw. $g$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also

$f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(x)=g(a)+\tilde{s}(x-a)+\tilde{r}(x)(x-a).$

Summieren ergibt

$f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+\tilde{s})(x-a)+(r+\tilde{r})(x)(x-a).$

Dabei ist die Summe $r+\tilde{r}$ wieder stetig in $a$ mit dem Wert $0$.
(2). Wir gehen wieder von

$f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(x)=g(a)+\tilde{s}(x-a)+\tilde{r}(x)(x-a)$

aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

$\begin{array}{cc}f(x)g(x)& =(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+\tilde{s}(x-a)+\tilde{r}(x)(x-a))\\ & =f(a)g(a)+(sg(a)+\tilde{s}f(a))(x-a)\\ & +(f(a)\tilde{r}(x)+g(a)r(x)+s\tilde{s}(x-a)+s\tilde{r}(x)(x-a)+\tilde{s}r(x)(x-a)+r(x)\tilde{r}(x)(x-a))(x-a).\end{array}$

Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für  $x=a$. 
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung $0$ ist.
(4). Es ist

$\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(a)}}{x-a}=\frac{-1}{g(a)g(x)}\cdot \frac{g(x)-g(a)}{x-a}.$

Da $g$ nach Fakt stetig in $a$ ist, konvergiert für $x\to a$ der linke Faktor gegen $-\frac{1}{g(a{)}^2}$ und wegen der Differenzierbarkeit von $g$ in $a$ konvergiert der rechte Faktor gegen $g^{\prime }(a)$.
(5) folgt aus (2) und (4).

Zur bewiesenen Aussage