Beweis
(1). Wir schreiben
bzw.
mit den in
Fakt
formulierten Objekten, also
-
und
-
Summieren ergibt
-
Dabei ist die Summe wieder stetig in mit dem Wert .
(2). Wir gehen wieder von
-
und
-
aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
Aufgrund von
Fakt
für
Limiten
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für
.
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung ist.
(4). Es ist
-
Da nach
Fakt
stetig in ist, konvergiert für der linke Faktor gegen und wegen der Differenzierbarkeit von in konvergiert der rechte Faktor gegen .
(5) folgt aus (2) und (4).