Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt kann man

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(y)=g(f(a))+g^{\prime }(f(a))(y-f(a))+s(y)(y-f(a))$

schreiben. Daher ergibt sich

(wenn man $y$ durch $f(x)$ ersetzt)

$\begin{array}{cc}g(f(x))& =g(f(a))+g^{\prime }(f(a))(f(x)-f(a))+s(f(x))(f(x)-f(a))\\ & =g(f(a))+g^{\prime }(f(a))(f^{\prime }(a)(x-a)+r(x)(x-a))+s(f(x))(f^{\prime }(a)(x-a)+r(x)(x-a))\\ & =g(f(a))+g^{\prime }(f(a))f^{\prime }(a)(x-a)+(g^{\prime }(f(a))r(x)+s(f(x))(f^{\prime }(a)+r(x)))(x-a).\end{array}$

Die hier ablesbare Restfunktion

$t(x):=g^{\prime }(f(a))r(x)+s(f(x))(f^{\prime }(a)+r(x))$

ist stetig in $a$ mit dem Wert $0$.

Zur bewiesenen Aussage