Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt wegen

${}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle v,\operatorname {Grad} \,f(P)\right\rangle \,$

direkt aus der Abschätzung von Cauchy-Schwarz.
(2) ergibt sich aus den Zusätzen zur Abschätzung von Cauchy-Schwarz, siehe Aufgabe.
(3). Aus (1) und (2) folgt, dass

${}{\begin{aligned}\vert {\left\langle \operatorname {Grad} \,f(P),\pm {\frac {\operatorname {Grad} \,f(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert }}\right\rangle }\vert &=\vert {{\left(Df\right)}_{P}{\left(\pm {\frac {\operatorname {Grad} \,f(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert }}\right)}}\vert \\&=\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert \end{aligned}}$

gilt, und dass diese beiden Vektoren die einzigen Vektoren der Norm ${}1$ sind, für die diese Gleichung gilt. Wenn man links die Betragstriche weglässt, so gilt die Gleichheit für ${}{\frac {\operatorname {Grad} \,f(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert }}$ nach wie vor, da das Skalarprodukt positiv definit ist.

Zur bewiesenen Aussage