Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) folgt wegen

direkt aus der Abschätzung von Cauchy-Schwarz.
(2) ergibt sich aus den Zusätzen zur Cauchy Schwarz, siehe Fakt.
(3). Aus (1) und (2) folgt, dass

gilt, und dass diese beiden Vektoren die einzigen Vektoren der Norm sind, für die diese Gleichung gilt. Wenn man links die Betragstriche weglässt, so gilt die Gleichheit für nach wie vor, da das Skalarprodukt positiv definit ist.

Zur bewiesenen Aussage