Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt

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Sei ein euklidischer Vektorraum, sei offen und sei

eine in differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für jeden Vektor ist
  2. Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn linear abhängig zum Gradienten ist.
  3. Sei . Unter allen Vektoren  mit ist die Richtungsableitung in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der Norm des Gradienten.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen