Es sei
ein
euklidischer Vektorraum,
sei
offen
und sei
-
eine in
differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für jeden Vektor
ist
-
![{\displaystyle {}\vert {{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}}\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb662da2d4a69aada2931e19ba9a7d64b82e36b7)
- Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn
linear abhängig
zum
Gradienten
ist.
- Sei
.
Unter allen Vektoren
mit
ist die
Richtungsableitung
in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der
Norm
des Gradienten.