Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei  ${}G\subseteq V$  offen und sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in  ${}P\in G$  differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jeden Vektor  ${}v\in V$  ist

   ${}\vert {{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}}\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert \,.$

2. Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn ${}v$ linear abhängig zum Gradienten ist.
3. Sei  ${}\operatorname {Grad} \,f(P)\neq 0$.  Unter allen Vektoren ${}v\in V$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist die Richtungsableitung in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der Norm des Gradienten.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen