Differenzierbare Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Ableitung parallel/Geodätische/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\gamma ^{\prime \prime }\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

die zweite Ableitung. Nach Definition ist ${}\gamma$ eine geodätische Kurve wenn ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)$ stets senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\gamma (t)}Y$ ist, was genau dann der Fall ist, wenn die orthogonale Projektion von ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)$ auf den Tangentialraum gleich ${}0$ ist. Dies ist äquivalent zu

${}(\nabla _{\gamma }\gamma ')(t)=\pi _{\gamma (t)}{\left(\gamma ^{\prime \prime }(t)\right)}=0\,$

für alle ${}t\in I$, was bedeutet, dass ${}\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs ${}\gamma$ ist.

Zur bewiesenen Aussage