Differenzierbare Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Ableitung parallel/Geodätische/Fakt

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und sei ${}\gamma \colon I\rightarrow Y$ eine zweimal stetig differenzierbare Kurve.

Dann ist ${}\gamma$ genau dann eine geodätische Kurve, wenn das Ableitungsfeld (Geschwindigkeitsfeld) ${}\gamma '$ ein paralleles Vektorfeld längs ${}\gamma$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen