Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialbündel/Implizite Realsierung/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten

${}{\begin{aligned}TY&={\left\{(P,u)\mid h(P)=c,\,{\left(Dh\right)}_{P}{\left(u\right)}=0\right\}}\\&={\left\{(P,u_{1},\ldots ,u_{n})\mid h(P)=0,\,\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)=0\right\}}\\&\subseteq W\times \mathbb {R} ^{n}\end{aligned}}$

mit der natürlichen Projektion nach ${}Y$. Wir fassen dabei ${}h$ als Funktion auf dem ${}\mathbb {R} ^{2n}$ auf, die nur von den ersten ${}n$ Variablen abhängt. Die beiden Funktionen ${}h$ und

${}g(P,u)=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)\,$

sind stetig und daher ist eine durch Gleichungen bestimmte abgeschlossene Teilmenge von ${}W\times \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Zu jedem festen Punkt ${}P\in Y$ ist

${}\pi ^{-1}(P)={\left\{(u_{1},\ldots ,u_{n})\mid \sum _{i=1}^{n}u_{i}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

der Tangentialraum an die Faser ${}Y$ im Punkt ${}P$. Aufgrund es Satzes über implizite Abbildungen gibt es zu jedem Punkt ${}P\in Y$ eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq Y$, eine offene Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ und ein Homöomorphismus

$\beta \colon V\longrightarrow U,$

der als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$ stetig differenzierbar ist und eine stetige in der zweiten Komponenten lineare Abbildung

$V\times \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{n},\,(Q,z)\longmapsto (\beta (q),{\left(D\beta \right)}_{Q}{\left(z\right)}),$

induziert, die stets im Tangentialraum an die Faser landet. Dies zeigt, dass die eingebettete Realisierung auch mit der Bündelstruktur und der Topologie des Tangentialbündels übereinstimmt.

Zur gelösten Aufgabe