Differenzierbare Kurve/Injektives Differential/Aufgabe/Lösung

1. Wegen

   ${}{\left(D\gamma \right)}_{t}{\left(1\right)}=\gamma '(t)\neq 0\,$

   ist das totale Differential

   ${\left(D\gamma \right)}_{t}{\left(1\right)}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   injektiv und daher folgt die Aussage unmittelbar aus Fakt.

2. Es seien ${}\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ die Koordinatenfunktionen von ${}\gamma$. Nach Voraussetzung ist zumindest für einen Index ${}i$ ${}\gamma _{i}'(t)\neq 0$. Sagen wir ${}\gamma _{i}'(t)>0$. Dann gibt es wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der Ableitung ein offenes Intervall ${}t\in J\subseteq I$ derart, dass ${}\gamma _{i}'$ auf ganz ${}J$ positiv ist. Daher ist ${}\gamma _{i}$ nach Fakt  (2) streng wachsend und daher injektiv. Dies überträgt sich auf ${}\gamma$.

Zur gelösten Aufgabe