Es sei
ein reelles Intervall und
ein
euklidischer Vektorraum.
Es seien
-
zwei in
differenzierbare Kurven
und es sei
-
eine in
differenzierbare Funktion.
Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
- Die Summe
-
ist in
differenzierbar mit
-
![{\displaystyle {}(f+g)'(t_{0})=f'(t_{0})+g'(t_{0})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ede7abc2b0a145a6912296e81e730dacfaae10)
- Das Produkt
-
ist differenzierbar in
mit
-
![{\displaystyle {}(hf)'(t_{0})=h(t_{0})f'(t_{0})+h'(t_{0})f(t_{0})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea69dacf26297d3e627625e861fe623540eb866f)
Insbesondere ist für
auch
differenzierbar in
mit
-
![{\displaystyle {}(cf)'(t_{0})=cf'(t_{0})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cc5eced4cc37c57bd6dd326686c02f23ba9f24)
- Wenn
nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion
-
in
differenzierbar mit
-
![{\displaystyle {}{\left({\frac {f}{h}}\right)}'(t_{0})={\frac {h(t_{0})f'(t_{0})-h'(t_{0})f(t_{0})}{(h(t_{0}))^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060a18178680a97fb0d9a5110c3b9d0aa5f2930b)