Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition der Tangentialabbildung.
(2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung für eine offene Menge im .
(3) folgt aus Fakt  (1).
(4) folgt aus Fakt  (4).
(5). Zu einer offenen Menge ist offen und daher ist offen. Es genügt die Stetigkeit von

nachzuweisen. Dabei kann man als ein Kartengebiet ansetzen und durch Kartengebiete überdecken. Dann genügt es, die Stetigkeit

für Kartengebiete und zu zeigen. Es gibt dann ein kommutatives Diagramm

wobei die vertikalen Abbildungen Homöomorphismen sind. Für die untere horizontale Abbildung sind wir in der unter (3) beschriebenen Situation. Wir müssen also die Stetigkeit der Abbildung

beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also , betrachten müssen. Die -te Komponente davon ist

und dies sind nach der -Differenzierbarkeits-Voraussetzung stetige Abbildungen.
(6) folgt aus (5).

Zur bewiesenen Aussage