Tangentialabbildung/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt

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Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

eine differenzierbare Abbildung. Es sei , und es sei

die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Wenn und offene Teilmengen sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem totalen Differential .
  2. Wenn

    mit und und

    mit und Karten sind, so ist das Diagramm

    kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen bzw. gegeben sind.

  3. ist -linear.
  4. Wenn eine weitere Mannigfaltigkeit, und

    eine weitere differenzierbare Abbildung mit ist, so gilt

  5. Wenn ein Diffeomorphismus ist, dann ist ein Isomorphismus.
  6. Für eine differenzierbare Kurve

    mit einem offenen Intervall und und gilt im Tangentialraum die Gleichheit

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen