Tangentialabbildung/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ , ${}Q=\varphi (P)$ und es sei

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$

die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem totalen Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$.
2. Wenn

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und

   $\beta \colon U'\longrightarrow W$

   mit ${}Q\in U'$ und ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ Karten sind, so ist das Diagramm

   ${\begin{matrix}T_{p}M&{\stackrel {T_{P}\varphi }{\longrightarrow }}&T_{Q}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {\left(D{\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}\right)_{\alpha (P)}}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen ${}[\gamma ]\mapsto (\alpha \circ \gamma )'(0)$ bzw. ${}[\gamma ]\mapsto (\beta \circ \gamma )'(0)$ gegeben sind.

3. ${}T_{P}(\varphi )$ ist ${}\mathbb {R}$-linear.
4. Wenn ${}L$ eine weitere Mannigfaltigkeit, ${}R\in L$ und

   $\psi \colon L\longrightarrow M$

   eine weitere differenzierbare Abbildung mit ${}\psi (R)=P$ ist, so gilt

   ${}T_{R}(\varphi \circ \psi )=T_{P}(\varphi )\circ T_{R}(\psi )\,.$

5. Wenn ${}\varphi$ ein Diffeomorphismus ist, dann ist ${}T_{P}(\varphi )$ ein Isomorphismus.
6. Für eine differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon I\longrightarrow M$

   mit einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$, ${}0\in I$ und ${}\gamma (0)=P$ gilt im Tangentialraum ${}T_{P}M$ die Gleichheit

   ${}[\gamma ]=(T_{0}(\gamma ))(1)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen