Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}TM&{\stackrel {T(\varphi )}{\longrightarrow }}&TN&\\\!\!\!\!\!\pi \downarrow &&\downarrow \pi \!\!\!\!\!&\\M&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&N&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

2. Für eine Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   zu ${}U\subseteq M$ offen und mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen gibt es ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}TU&{\stackrel {T(\alpha )}{\longrightarrow }}&TV=V\times \mathbb {R} ^{m}&\\\downarrow &&\downarrow &\\U&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&V&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

3. Wenn ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind und die Tangentialbündel mit ${}M\times \mathbb {R} ^{m}$ bzw. ${}N\times \mathbb {R} ^{n}$ identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich

   $M\times \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow N\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,v)\longmapsto \left(\varphi (P),{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\right).$

4. Wenn ${}L$ eine weitere Mannigfaltigkeit und

   $\psi \colon L\longrightarrow M$

   eine weitere differenzierbare Abbildung ist, so gilt

   ${}T(\varphi \circ \psi )=T(\varphi )\circ T(\psi )\,.$

5. Die Tangentialabbildung ${}T(\varphi )$ ist stetig.
6. Wenn ${}\varphi$ ein Diffeomorphismus ist, so ist ${}T(\varphi )$ ein Homöomorphismus.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen