Beweis
(1) folgt unmittelbar aus der Definition der
Tangentialabbildung.
(2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung
für eine offene Menge im
.
(3) folgt aus
Fakt (1).
(4) folgt aus
Fakt (4).
(5). Sei
-
mit
und
offen eine Karte für
und
ebenfalls offen. Dann ist
eine offene Menge in
, und solche Mengen bilden
nach Aufgabe
eine
Basis der Topologie
von
. Die Stetigkeit muss also nur für solche Mengen gezeigt zu werden. Dies bedeutet, dass wir
durch
ersetzen können, also annehmen können, dass eine differenzierbare Abbildung
-
in eine offene Menge
vorliegt. Wir müssen zeigen, dass das Urbild von
offen in
ist. Dazu sei
-
eine beliebige Karte für
, und wir müssen die Offenheit von
zeigen. Damit sind wir in der unter (3) beschriebenen Situation. Wir müssen also die Stetigkeit der Abbildung
-
beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also
, betrachten müssen. Die
-te Komponente davon ist
-
und dies sind nach der
-Differenzierbarkeits-Voraussetzung stetige Abbildungen.
(6) folgt aus (5).