Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis2

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition der Tangentialabbildung.
(2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung $T V ≅ V \times ℝ^{n}$ für eine offene Menge im $ℝ^{n}$ .
(3) folgt aus Fakt (1).
(4) folgt aus Fakt (4).
(5). Sei

β : V ⟶ V^{'}

mit $V \subseteq N$ und $V^{'} \subseteq ℝ^{n}$ offen eine Karte für $N$ und $Y \subseteq ℝ^{n}$ ebenfalls offen. Dann ist $(T (β))^{- 1} (V^{'} \times Y)$ eine offene Menge in $T N$ , und solche Mengen bilden nach Aufgabe eine Basis der Topologie von $T N$ . Die Stetigkeit muss also nur für solche Mengen gezeigt zu werden. Dies bedeutet, dass wir $N$ durch $V$ ersetzen können, also annehmen können, dass eine differenzierbare Abbildung

φ : M ⟶ V

in eine offene Menge $V \subseteq ℝ^{n}$ vorliegt. Wir müssen zeigen, dass das Urbild von $V \times Y$ offen in $T M$ ist. Dazu sei

α : U ⟶ U^{'}

eine beliebige Karte für $M$ , und wir müssen die Offenheit von $(T (φ))^{- 1} (V \times Y) \cap T U$ zeigen. Damit sind wir in der unter (3) beschriebenen Situation. Wir müssen also die Stetigkeit der Abbildung

U \times ℝ^{m} ⟶ V \times ℝ^{n}, (P, v) ⟼ (φ (P), {(D φ)}_{P} (v)),

beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also ${(D φ)}_{P} (v)$ , betrachten müssen. Die $j$ -te Komponente davon ist

\sum_{i = 1}^{m} v_{i} \frac{\partial φ_{j}}{\partial x_{i}} (P),

und dies sind nach der $C^{1}$ -Differenzierbarkeits-Voraussetzung stetige Abbildungen.
(6) folgt aus (5).

Zur bewiesenen Aussage