Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis

Beweis

Die Reflexiviät und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien drei differenzierbare Kurven

$\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\colon I\longrightarrow M$

gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen offenen Intervall ${}0\in I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sind. Es seien ${}P\in U_{1},U_{2}$ offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ bzw. von ${}\gamma _{2}$ und ${}\gamma _{3}$ nachweisen kann. Dann kann man nach Fakt mit ${}U=U_{1}\cap U_{2}$ die tangentiale Gleichheit von ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{3}$ nachweisen.

Zur bewiesenen Aussage