Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Beliebige offene Umgebung/Fakt

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es seien

$\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$

und

$\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$

zwei auf offenen Intervallen ${}0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$.

Dann sind ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ genau dann tangential äquivalent in ${}P$, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$

gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen