Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe/Lösung

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Es sei ein Punkt und eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte

wobei die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius sei und wobei gelte. Für betrachten wir

Es ist also die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt und Radius , ist darin der durch definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält aus , indem man zusätzlich noch setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen

vor

( besteht aus den beiden Punkten ). Wir fassen als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung

auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist

Der Rang dieser Matrix ist nur bei kleiner als , ein solcher Punkt liegt also nicht auf . Das bedeutet, dass die Abbildung in der Faser regulär ist, so dass aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von der Dimension ist.

Wir setzen nun für und . Da die kompakt sind, sind die auch abgeschlossene Teilmengen in . Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von .