Es sei ein Punkt und eine offene Kartenumgebung zusammen mit einer Karte
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wobei die offene Kugel mit Mittelpunkt und Radius sei und wobei gelte. Für betrachten wir
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Es ist also die Kugeloberfläche mit Mittelpunkt und Radius , ist darin der durch definierte „Äquator“ u.s.w. Man erhält aus , indem man zusätzlich noch setzt. Daher liegt eine absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen
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vor
( besteht aus den beiden Punkten ).
Wir fassen als die Faser über dem Nullpunkt der Abbildung
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auf. Die Jacobimatrix dieser Abbildung ist
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Der Rang dieser Matrix ist nur bei kleiner als , ein solcher Punkt liegt also nicht auf . Das bedeutet, dass die Abbildung in der Faser regulär ist, sodass aufgrund des Satzes über implizite Abbildungen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von der Dimension ist.
Wir setzen nun
für
und
. Da die
kompakt sind, sind die
auch abgeschlossene Teilmengen in
. Da die Bedingung für eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit eine lokale Eigenschaft ist, handelt es sich um abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten von
.