Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Maximaler Atlas/Diffeomorph/Bemerkung

Zu einer ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit ${}M$ mit einem ${}C^{k}$-Atlas ${}{\left(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I\right)}$ gibt es einen maximalen Atlas, der mit der durch den Atlas gegebenen differenzierbaren Struktur verträglich ist. Er besteht aus der Menge aller Homöomorphismen

$\beta \colon U\longrightarrow V$

mit offenen Mengen ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit der Eigenschaft, dass diese Abbildungen ${}C^{k}$-Abbildungen (bezüglich der durch den Atlas gegebenen Struktur) sind. Dieser maximale Atlas enthält natürlich den Ausgangsatlas, ist aber im Allgemeinen bei weitem größer. Beispielsweise enthält er zu jeder Karte ${}\beta \colon U\rightarrow V$ und jeder offenen Teilmenge ${}U'\subseteq U$ auch die auf ${}U'$ eingeschränkte Kartenabbildung. Wichtig ist, dass die identische Abbildung

$\operatorname {Id} \colon (M,A)\longrightarrow (M,B),$

wobei ${}A$ den Ausgangsatlas und ${}B$ den maximalen Atlas bezeichnet, ein ${}C^{k}$-Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten ist, wie unmittelbar aus der Definition folgt. Wichtiger als der Atlas ist die durch ihn vertretene differenzierbare Struktur auf der Mannigfaltigkeit, die festlegt, welche Abbildungen differenzierbar und welche Diffeomorphismen sind. Die Karten des maximalen Atlas werden manchmal auch (verallgemeinerte) Karten der Mannigfaltigkeit genannt.