Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Quader/Abbildung/Zweites Tangentialbündel/Aufgabe

Es sei $X$ eine $C^2$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Es seien  $I,J\subseteq ℝ$  offene Intervalle mit  $0\in I,J$  und es sei

$\phi :I\times J⟶X,(s,t)⟼\phi (s,t),$

eine zweifach stetig differenzierbare Abbildung mit  $\phi (0,0)=P\in X$. 

1. Zeige, dass für jedes  $s\in I$  die Abbildung $\phi {|}_{\{s\}\times J}$ eine differenzierbare Kurve in $X$ definiert.
2. Zeige, dass durch (1) eine differenzierbare Kurve

   $I⟶TX,s⟼[\phi {|}_{\{s\}\times J}],$

   definiert wird, wobei $[\phi {|}_{\{s\}\times J}]$ den Tangentialvektor dieses Weges im Punkt $(s,0)$ bezeichnet.

3. Zeige, dass durch (2) ein Element in $TTY$ bestimmt ist.
4. Zeige, dass man jedes Element aus $TTY$ durch eine Abbildung $\phi$ wie oben realisieren kann.

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