Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R}$ regulär sei.

Dann ist die Volumenform aus Fakt gleich

$\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n},$

wobei die ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten auf ${}\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnen und die ${}dx_{i}$ die zugehörigen ${}1$-Formen auf ${}M$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen