Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt

Es sei  $G\subseteq {ℝ}^n$  offen und sei

$\phi :G⟶ℝ$

eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser $M$ über  $0\in ℝ$  regulär sei.

Dann ist die Volumenform aus Fakt gleich

$\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}\frac{\partial \phi }{\partial x_i}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_{i-1}\wedge d{x}_{i+1}\wedge \dots \wedge d{x}_n,$

wobei die $x_1,\dots ,x_n$ die Koordinaten auf ${ℝ}^n$ bezeichnen und die $d{x}_i$ die zugehörigen $1$-Formen auf $M$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen