Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt ist die Volumenform dadurch gegeben, dass sie in einem Punkt und einem -Tupel mit die Zahl

zuordnet. Wir müssen zeigen, dass die angegebene Form damit übereinstimmt. Wenn wir diese im Punkt in den Vektoren auswerten, so erhält man nach Fakt

Dies ist gerade die Entwicklung der obigen Determinante nach der ersten Spalte.

Zur bewiesenen Aussage