Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist die Volumenform dadurch gegeben, dass sie in einem Punkt ${}P\in M$ und einem ${}n-1$-Tupel ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}\in T_{P}M\subset \mathbb {R} ^{n}$ mit ${}v_{s}={\begin{pmatrix}v_{1s}\\\vdots \\v_{ns}\end{pmatrix}}$ die Zahl

$\det \left(\operatorname {Grad} \,\varphi (P),\,v_{1},\,\ldots ,\,v_{n-1}\right)=\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}(P)&v_{11}&\ldots &v_{1\,n-1}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}(P)&v_{21}&\ldots &v_{2\,n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}(P)&v_{n1}&\ldots &v_{n\,n-1}\end{pmatrix}}\,$

zuordnet. Wir müssen zeigen, dass die angegebene Form damit übereinstimmt. Wenn wir diese im Punkt ${}P$ in den Vektoren auswerten, so erhält man nach Fakt

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(P)dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}(v_{1},\ldots ,v_{n-1})&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(P)\det {\left(dx_{r}(v_{s})\right)}_{1\leq r\leq n,\,r\neq i,\,1\leq s\leq n-1}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(P)\det {\left(v_{rs}\right)}_{1\leq r\leq n,\,r\neq i,\,1\leq s\leq n-1}.\end{aligned}}$

Dies ist gerade die Entwicklung der obigen Determinante nach der ersten Spalte.

Zur bewiesenen Aussage