Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei ${}z=x+{\mathrm {i} }y$.

Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

gelten.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen