Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$  offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt  ${}P\in G$  reell total differenzierbare Abbildung. Es sei  ${}f=g+{\mathrm {i} }h$  mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei  ${}z=x+{\mathrm {i} }y$. 

Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

gelten.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen