Differenzierbarkeit/Charakterisierung komplexer Differenzierbarkeit durch partielle Ableitungen/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ komplexe Vektorräume, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine in ${}P\in G$ reell-differenzierbare Abbildung. Es sei ${}v_{j},j\in J$, eine ${}{\mathbb {C} }$-Basis von ${}V$ mit den Koordinatenfunktionen ${}z_{j}=x_{j}+iy_{j}$.

Dann ist ${}\varphi$ im Punkt ${}P$ genau dann komplex-differenzierbar, wenn

$({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{j}}})(P)=i({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}})(P)$

für alle ${}j\in J$ (beide Seiten sind Vektoren in ${}W$).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen