Differenzierbarkeit/Charakterisierung komplexer Differenzierbarkeit durch partielle Ableitungen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}n:=\dim _{\mathbb {C} }V$, ${}m:=\dim _{\mathbb {C} }W$ und ${}L:=(D_{\varphi })_{P}$ das reelle totale Differential, welches durch eine ${}2m\times 2n$-Matrix mit reellen Einträgen gegeben ist (bezüglich einer Basis von ${}W$). Da ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ reell-differenzierbar ist, ist ${}\varphi$ insbesondere bezüglich ${}x_{j}$ und ${}y_{j}$ reell partiell differenzierbar., und diese Ableitungen liefern die Einträge der Matrix. Die Abbildung ${}\varphi$ ist genau dann komplex-differenzierbar, wenn ${}L$ (nicht nur reell, sondern auch) komplex-linear ist. Nach Fakt gilt

$(\partial \varphi /\partial y_{j})(P)=(D_{iv_{j}}(\varphi ))_{P}=(D_{\varphi })_{P}(iv_{j}){\text{ und }}(\partial \varphi /\partial x_{j})(P)=(D_{v_{j}}(\varphi ))_{P}=(D_{\varphi })_{P}(v_{j}).$

  Damit ist die ${}{\mathbb {C} }$-Linearität des Differentials (nämlich ${}(D_{\varphi })_{P}(iv_{j})=i(D_{\varphi })_{P}(v_{j})$) äquivalent zu

$({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{j}}})(P)=i({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}})(P).$

Zur bewiesenen Aussage