Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, es sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ in jede Richtung ${}v$ differenzierbar, und es gilt

${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen