Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt

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Sei offen, ein Punkt und sei

eine Abbildung.

Dann ist in genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

In diesem Fall stimmt die -te partielle Ableitung von in mit der Richtungsableitung von in in Richtung des -ten Standardvektors überein, und ist in genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.