Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt

Sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und sei

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

eine Abbildung.

Dann ist ${}f$ in ${}P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen ${}f_{j}$ in ${}P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

In diesem Fall stimmt die ${}i$-te partielle Ableitung ${}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$ von ${}f$ in ${}P$ mit der Richtungsableitung ${}{\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}$ von ${}f_{j}$ in ${}P$ in Richtung des ${}i$-ten Standardvektors ${}e_{i}$ überein, und ${}f$ ist in ${}P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in ${}P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen