Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt

Es sei  $G\subseteq {𝕂}^n$  offen,  $P\in G$  ein Punkt und sei

$f:G⟶{𝕂}^m,(x_1,\dots ,x_n)⟼f(x_1,\dots ,x_n)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n)),$

eine Abbildung.

Dann ist $f$ in $P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen $f_j$ in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

In diesem Fall stimmt die $i$-te partielle Ableitung $\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(P)$ von $f$ in $P$ mit der Richtungsableitung $\left(D_{e_i}{f}_j\right)\left(P\right)$ von $f_j$ in $P$ in Richtung des $i$-ten Standardvektors $e_i$ überein, und $f$ ist in $P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen