Differenzierbarkeit des Integrals/t^x/Auf 1 bis 20/Motivation/Beispiel

Wir betrachten das Integral

$\int _{1}^{2}t^{x}dt,$

wobei ${}x>-1$ sei. Eine Stammfunktion zu ${}t\mapsto t^{x}$ ist durch ${}{\frac {1}{x+1}}t^{x+1}$ gegeben. Daher ist

${}\int _{1}^{2}t^{x}dt={\left({\frac {1}{x+1}}t^{x+1}\right)}{|}_{1}^{2}={\frac {1}{x+1}}{\left(2^{x+1}-1\right)}=g(x)\,.$

Diese Funktion ${}g(x)$ drückt den Wert des bestimmten Integrals zum Parameter ${}x$ aus. Ein Blick auf die Bauart zeigt, dass ${}g$ stetig und auch differenzierbar ist, und zwar ist nach der Produktregel

${}g'(x)={\frac {-1}{(x+1)^{2}}}{\left(2^{x+1}-1\right)}+{\frac {1}{x+1}}{\left({\left(\ln 2\right)}2^{x+1}\right)}\,.$

Andererseits kann man auch die Funktion ${}t^{x}$ nach ${}x$ ableiten und erhält

${}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}={\left(\ln t\right)}t^{x}\,.$

Eine Stammfunktion nach ${}t$ zu dieser Funktion findet man mittels partieller Integration, nämlich

${}\int {\left(\ln t\right)}t^{x}={\left(\ln t\right)}{\frac {t^{x+1}}{x+1}}-\int {\frac {1}{t}}\cdot {\frac {t^{x+1}}{x+1}}\,,$

und somit ist

${\frac {\ln t}{x+1}}\cdot t^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}t^{x+1}$

eine Stammfunktion. Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}dt&={\left({\frac {\ln t}{x+1}}\cdot t^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}t^{x+1}\right)}|_{1}^{2}\\&={\frac {\ln 2}{x+1}}\cdot 2^{x+1}-{\frac {1}{(x+1)^{2}}}2^{x+1}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}.\end{aligned}}$

Dies stimmt mit der Ableitung von ${}g$ überein, d.h. es ist

${}{\left(x\mapsto \int _{1}^{2}t^{x}dt\right)}'=\int _{1}^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}t^{x}dt\,.$

Dahinter verbirgt sich ein allgemeiner Zusammenhang, der in Fakt beschrieben wird.