Direkte Summe/Über Dimension/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst die Summe direkt. Wir führen Induktion über ${}n$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es sei die Dimensionsaussage für ein ${}n$ schon bewiesen, und es liegen ${}n+1$ Untervektorräume vor. Die ersten ${}n$ Untervektorräume davon erfüllen dann ebenfalls die Durchschnittsbedingung, d.h. ihre Summe ist direkt und es gilt nach Induktionsvoraussetzung

${}\dim _{K}{\left(U_{1}+\cdots +U_{n}\right)}=\sum _{i=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}\,.$

Da auch

${}U_{n+1}\cap {\left(\sum _{j=1}^{n}U_{j}\right)}=0\,$

ist, folgt nach Fakt die Gleichung

${}{\begin{aligned}\dim _{K}{\left(U_{1}+\cdots +U_{n}+U_{n+1}\right)}&=\dim _{K}{\left(U_{1}+\cdots +U_{n}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{n+1}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}\right)}+\dim _{K}{\left(U_{n+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n+1}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}.\end{aligned}}$

Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, dass

${}U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\neq 0\,$

ist für ein ${}i$. Wir wenden Fakt auf ${}U_{i}$ und ${}W=\sum _{j\neq i}U_{j}$ an und erhalten

${}{\begin{aligned}\dim _{K}{\left(\sum _{j}U_{j}\right)}&=\dim _{K}{\left(U_{i}+\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\\&=\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}+\dim _{K}{\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}-\dim _{K}{\left(U_{i}\cap \sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\\&>\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}+\dim _{K}{\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}\\&\geq \dim _{K}{\left(U_{i}\right)}+\sum _{j\neq i}\dim _{K}{\left(U_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{j}\right)}.\end{aligned}}$

Somit kann die Dimensionsbedingung nicht gelten.

Zur gelösten Aufgabe