Direkte Summe/Über Dimension/Aufgabe/Lösung

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Sei zunächst die Summe direkt. Wir führen Induktion über , wobei der Induktionsanfang klar ist. Sei die Dimensionsaussage für ein schon bewiesen, und es liegen Untervektorräume vor. Die ersten Untervektorräume davon erfüllen dann ebenfalls die Durchschnittsbedingung, d.h. ihre Summe ist direkt und es gilt nach Induktionsvoraussetzung

Da auch

ist, folgt nach Fakt die Gleichung

Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, dass

ist für ein . Wir wenden Fakt auf und an und erhalten

Somit kann die Dimensionsbedingung nicht gelten.
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