Dirichletreihe/Konvergenzverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}s=r+{\mathrm {i} }t$ mit ${}r\geq c$ . Es ist unter Verwendung von Fakt

{}{\begin{aligned}\vert {a_{n}n^{-s}}\vert &=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-s\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \cdot \vert {e^{-{\mathrm {i} }t\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-r\ln n}}\vert \\&\leq \vert {a_{n}}\vert \cdot \vert {e^{-c\ln n}}\vert \\&=\vert {a_{n}}\vert \cdot n^{-c}.\end{aligned}}

Die zugehörige Reihe konvergiert nach Voraussetzung, also nach dem Majorantenkriterium auch die Dirichletreihe zu ${}s$ .