Diskreter Bewertungsring/Hauptideal/Potenzen/Restklassenmodul/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring und sei  ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$.  Es sei  ${}K=R/(\pi )$  der Restklassenkörper von ${}R$. Zeige, dass es für jedes  ${}n\in \mathbb {N}$  einen ${}R$-Modulisomorphismus

$(\pi ^{n})/(\pi ^{n+1})\longrightarrow K$

gibt.

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