Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass die ${}F_{i}$ zu ${}B[X]$ gehören. Die maximalen Ideale von ${}R$ sind ${}(p,F_{j})$ für ${}j=1,\ldots ,s$. Die Voraussetzung bedeutet für ${}B[X]$ die Beziehung ${}F_{1}\cdots F_{s}=F+pH$ und für

${}R=B[X]/(F)\,$

die Gleichheit

${}F_{1}\cdots F_{s}=pH\,.$

Da ${}F_{i}$ und ${}F_{j}$ teilerfremd sind, sind die ${}F_{i}$ Einheiten in der Lokalisierung ${}R_{(p,F_{j})}$ und daher ist

${}F_{j}={\frac {H}{F_{1}\cdots F_{j-1}F_{j+1}\cdots F_{s}}}\cdot p\,.$

D.h. in ${}R_{(p,F_{j})}$ ist das maximale Ideal ein Hauptideal mit dem Erzeuger ${}p$ und daher liegt nach Fakt ein diskreter Bewertungsring vor. Somit ist ${}R$ normal.

Zur bewiesenen Aussage