Diskreter Bewertungsring/Quotientenkörper/Auflösung/Aufgabe

Es sei $R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal  $𝔪=(\pi )$  und dem Quotientenkörper  $Q=Q(R)=R_{\pi }$.  Zeige, dass durch

$0⟶R^{(\mathbb{N})}⟶R^{(\mathbb{N})}⟶Q⟶0,$

wobei rechts die Basiselemente $e_n$ auf $\frac{1}{{\pi }^n}$ und links die Basiselemente $f_n$ auf $e_n-\pi e_{n+1}$ abgebildet werden, eine endliche freie Auflösung des Quotientenkörpers $Q$ gegeben ist.

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