Diskreter Bewertungsring/Quotientenkörper/Auflösung/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$ und dem Quotientenkörper ${}Q=Q(R)=R_{\pi }$. Zeige, dass durch

$0\longrightarrow R^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow R^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow Q\longrightarrow 0,$

wobei rechts die Basiselemente ${}e_{n}$ auf ${}{\frac {1}{\pi ^{n}}}$ und links die Basiselemente ${}f_{n}$ auf ${}e_{n}-\pi e_{n+1}$ abgebildet werden, eine endliche freie Auflösung des Quotientenkörpers ${}Q$ gegeben ist.

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