Drehgruppe auf R^2/Zwei Punkte/Invariantenring/Fakt/Beweis

Beweis

Die Invarianz der angegebenen Polynome sowie ihre inhaltliche Bedeutung wurden schon in Beispiel bemerkt. Wir betrachten die Erweiterung

${}\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]\subset {\mathbb {C} }[U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]\,.$

Die angegebene Operation der ${}\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ auf dem reellen Polynomring lässt sich direkt auf den komplexen Polynomring fortsetzen, da das Gruppenelement

${}\sigma ={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,$

durch ${}U_{i}\mapsto \cos \alpha U_{i}-\sin \alpha V_{i}$ etc. wirkt, und diese Ringhomomorphismen reell oder komplex aufgefasst werden können. Ein Polynom ${}F\in \mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ ist genau dann invariant, wenn es aufgefasst in ${}{\mathbb {C} }[U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ invariant ist. Wir führen neue komplexe Variablen ein, nämlich

$W_{1}=U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1},\,Z_{1}=U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1},\,W_{2}=U_{2}+{\mathrm {i} }V_{2},\,Z_{2}=U_{2}-{\mathrm {i} }V_{2}.$

Es bestehen die Beziehung

${}W_{1}Z_{1}={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}=U_{1}^{2}+V_{1}^{2}\,,$

${}W_{2}Z_{2}={\left(U_{2}+V_{2}\right)}{\left(U_{2}-{\mathrm {i} }V_{2}\right)}=U_{2}^{2}+V_{2}^{2}\,,$

${}W_{1}Z_{2}={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(U_{2}-{\mathrm {i} }V_{2}\right)}=U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}-i{\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)}\,$

und

${}W_{2}Z_{1}={\left(U_{2}+{\mathrm {i} }V_{2}\right)}{\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}=U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}+i{\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)}\,.$

Die beiden letzten Gleichungen zeigen, dass sich umgekehrt auch ${}U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}$ und ${}U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}$ durch ${}W_{1}Z_{2}$ und ${}W_{2}Z_{1}$ ausdrücken lassen. Die beiden Systeme erzeugen also die gleiche ${}{\mathbb {C} }$-Unteralgebra von

${}{\mathbb {C} }[U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]\cong {\mathbb {C} }[W_{1},Z_{1},W_{2},Z_{2}]\,.$

Wir schreiben die Elemente der operierenden Gruppe als

${}\sigma ={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,,$

wobei wir die Drehgruppe mit den komplexen Zahlen vom Betrag ${}1$ (zusammen mit der komplexen Multiplikation) identifizieren. Die Operation wird dann zu (${}\bullet$ bezeichne die aus dem Reellen fortgesetzte Operation und ${}\cdot$ die komplexe Multiplikation)

${}{\begin{aligned}W_{1}\bullet \sigma &={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}\bullet \sigma \\&={\left(\cos \alpha \right)}U_{1}-{\left(\sin \alpha \right)}V_{1}+{\mathrm {i} }{\left({\left(\sin \alpha \right)}U_{1}+{\left(\cos \alpha \right)}V_{1}\right)}\\&={\left(U_{1}+{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \right)}\\&=W_{1}\cdot \sigma \end{aligned}}$

(ebenso für ${}W_{2}$) und

${}{\begin{aligned}Z_{1}\bullet \sigma &={\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}\bullet \sigma \\&={\left(\cos \alpha \right)}U_{1}-{\left(\sin \alpha \right)}V_{1}-{\mathrm {i} }{\left({\left(\sin \alpha \right)}U_{1}+{\left(\cos \alpha \right)}V_{1}\right)}\\&={\left(U_{1}-{\mathrm {i} }V_{1}\right)}{\left(\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha \right)}\\&=Z_{1}\cdot \sigma ^{-1}\end{aligned}}$

(ebenso für ${}Z_{2}$). Wir betrachten auf ${}{\mathbb {C} }[W_{1},Z_{1},W_{2},Z_{2}]$ die ${}\mathbb {Z}$-Graduierung, bei der ${}W_{1},W_{2}$ den Grad ${}1$ und ${}Z_{1},Z_{2}$ den Grad ${}-1$ bekommen. Die Operation der Gruppe ist homogen bezüglich dieser Graduierung. Daher ist der Invariantenring ein graduierter Unterring. Auf der ${}d$-ten Stufe des Ringes ist die Operation für ${}t\in S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ durch ${}H\mapsto t^{d}H$ gegeben. Für ${}d=0$ ist dies die Identität, sodass die ${}0$-te Stufe invariant ist. Für ${}d\neq 0$ gibt es ${}t\in S^{1}$ mit ${}t^{d}\neq 1$, sodass es außer ${}0$ keine weiteren invarianten Polynome gibt. Der Invariantenring ist also die ${}0$-te Stufe. Diese besteht aus Linearkombinationen von Monomen der ${}0$-ten Stufe, und ein Monom vom nullten Grad muss ein Produkt der Elemente ${}W_{i}Z_{j}$ sein. Der Invariantenring ist also

${}{\begin{aligned}{\mathbb {C} }[W_{1},Z_{1},W_{2},Z_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}&={\mathbb {C} }[W_{1}Z_{1},W_{1}Z_{2},W_{2}Z_{1},W_{2}Z_{2}]\\&={\mathbb {C} }[U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}].\end{aligned}}$

Wir kehren zur reellen Situation zurück. Es sei ${}F\in \mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ ein invariantes Polynom. Dann gibt es ein komplexes Polynom ${}P$ in vier Variablen mit

${}F=P(U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1})\,.$

Mit Hilfe der komplexen Konjugation sieht man, dass es auch ein reelles Polynom mit dieser Eigenschaft geben muss. Daher gilt für den reellen Invariantenring

$\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}]\,.$

Für den Zusatz siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage