Drehgruppe auf R^2/Zwei Punkte/Invariantenring/Fakt/Beweis

Beweis

Die Invarianz der angegebenen Polynome sowie ihre inhaltliche Bedeutung wurden schon in Beispiel bemerkt. Wir betrachten die Erweiterung

ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}] \subset ℂ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}] .

Die angegebene Operation der ${SO}_{2} (ℝ)$ auf dem reellen Polynomring lässt sich direkt auf den komplexen Polynomring fortsetzen, da das Gruppenelement

σ = (\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})

durch $U_{i} \mapsto \cos α U_{i} - \sin α V_{i}$ etc. wirkt, und diese Ringhomomorphismen reell oder komplex aufgefasst werden können. Ein Polynom $F \in ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]$ ist genau dann invariant, wenn es aufgefasst in $ℂ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]$ invariant ist. Wir führen neue komplexe Variablen ein, nämlich

W_{1} = U_{1} + i V_{1}, Z_{1} = U_{1} - i V_{1}, W_{2} = U_{2} + i V_{2}, Z_{2} = U_{2} - i V_{2} .

Es bestehen die Beziehung

W_{1} Z_{1} = (U_{1} + i V_{1}) (U_{1} - i V_{1}) = U_{1}^{2} + V_{1}^{2},

W_{2} Z_{2} = (U_{2} + V_{2}) (U_{2} - i V_{2}) = U_{2}^{2} + V_{2}^{2},

W_{1} Z_{2} = (U_{1} + i V_{1}) (U_{2} - i V_{2}) = U_{1} U_{2} + V_{1} V_{2} - i (U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1})

und

W_{2} Z_{1} = (U_{2} + i V_{2}) (U_{1} - i V_{1}) = U_{1} U_{2} + V_{1} V_{2} + i (U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1}) .

Die beiden letzten Gleichungen zeigen, dass sich umgekehrt auch $U_{1} U_{2} + V_{1} V_{2}$ und $U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1}$ durch $W_{1} Z_{2}$ und $W_{2} Z_{1}$ ausdrücken lassen. Die beiden Systeme erzeugen also die gleiche $ℂ$ -Unteralgebra von

ℂ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}] ≅ ℂ [W_{1}, Z_{1}, W_{2}, Z_{2}] .

Wir schreiben die Elemente der operierenden Gruppe als

σ = (\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}) = \cos α + i \sin α,

wobei wir die Drehgruppe mit den komplexen Zahlen vom Betrag $1$ (zusammen mit der komplexen Multiplikation) identifizieren. Die Operation wird dann zu ( $∙$ bezeichne die aus dem Reellen fortgesetzte Operation und $\cdot$ die komplexe Multiplikation)

\begin{matrix} W_{1} ∙ σ & = (U_{1} + i V_{1}) ∙ σ \\ = (\cos α) U_{1} - (\sin α) V_{1} + i ((\sin α) U_{1} + (\cos α) V_{1}) \\ = (U_{1} + i V_{1}) (\cos α + i \sin α) \\ = W_{1} \cdot σ \end{matrix}

(ebenso für $W_{2}$ ) und

\begin{matrix} Z_{1} ∙ σ & = (U_{1} - i V_{1}) ∙ σ \\ = (\cos α) U_{1} - (\sin α) V_{1} - i ((\sin α) U_{1} + (\cos α) V_{1}) \\ = (U_{1} - i V_{1}) (\cos α - i \sin α) \\ = Z_{1} \cdot σ^{- 1} \end{matrix}

(ebenso für $Z_{2}$ ). Wir betrachten auf $ℂ [W_{1}, Z_{1}, W_{2}, Z_{2}]$ die $ℤ$ -Graduierung, bei der $W_{1}, W_{2}$ den Grad $1$ und $Z_{1}, Z_{2}$ den Grad $- 1$ bekommen. Die Operation der Gruppe ist homogen bezüglich dieser Graduierung. Daher ist der Invariantenring ein graduierter Unterring. Auf der $d$ -ten Stufe des Ringes ist die Operation für $t \in S^{1} \subseteq ℂ^{\times}$ durch $H \mapsto t^{d} H$ gegeben. Für $d = 0$ ist dies die Identität, sodass die $0$ -te Stufe invariant ist. Für $d \neq 0$ gibt es $t \in S^{1}$ mit $t^{d} \neq 1$ , sodass es außer $0$ keine weiteren invarianten Polynome in der $d$ -ten Stufe gibt. Der Invariantenring ist also die $0$ -te Stufe. Diese besteht aus Linearkombinationen von Monomen der $0$ -ten Stufe, und ein Monom vom nullten Grad muss ein Produkt der Elemente $W_{i} Z_{j}$ sein. Der Invariantenring ist also

\begin{matrix} ℂ [W_{1}, Z_{1}, W_{2}, Z_{2}]^{{SO}_{2} (ℝ)} & = ℂ [W_{1} Z_{1}, W_{1} Z_{2}, W_{2} Z_{1}, W_{2} Z_{2}] \\ = ℂ [U_{1}^{2} + V_{1}^{2}, U_{2}^{2} + V_{2}^{2}, U_{1} U_{2} + V_{1} V_{2}, U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1}] . \end{matrix}

Wir kehren zur reellen Situation zurück. Es sei $F \in ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]$ ein invariantes Polynom. Dann gibt es ein komplexes Polynom $P$ in vier Variablen mit

F = P (U_{1}^{2} + V_{1}^{2}, U_{2}^{2} + V_{2}^{2}, U_{1} U_{2} + V_{1} V_{2}, U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1}) .

Mit Hilfe der komplexen Konjugation sieht man, dass es auch ein reelles Polynom mit dieser Eigenschaft geben muss. Daher gilt für den reellen Invariantenring

ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]^{{SO}_{2} (ℝ)} = ℝ [U_{1}^{2} + V_{1}^{2}, U_{2}^{2} + V_{2}^{2}, U_{1} U_{2} + V_{1} V_{2}, U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1}] .

Für den Zusatz siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage