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Drehgruppe auf R^2/Zwei Punkte/Invariantenring/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Invarianz der angegebenen Polynome sowie ihre inhaltliche Bedeutung wurden schon in Beispiel bemerkt. Wir betrachten die Erweiterung

Die angegebene Operation der auf dem reellen Polynomring lässt sich direkt auf den komplexen Polynomring fortsetzen, da das Gruppenelement

durch etc. wirkt, und diese Ringhomomorphismen reell oder komplex aufgefasst werden können. Ein Polynom ist genau dann invariant, wenn es aufgefasst in invariant ist. Wir führen neue komplexe Variablen ein, nämlich

Es bestehen die Beziehung

und

Die beiden letzten Gleichungen zeigen, dass sich umgekehrt auch und durch und ausdrücken lassen. Die beiden Systeme erzeugen also die gleiche -Unteralgebra von

Wir schreiben die Elemente der operierenden Gruppe als

wobei wir die Drehgruppe mit den komplexen Zahlen vom Betrag (zusammen mit der komplexen Multiplikation) identifizieren. Die Operation wird dann zu ( bezeichne die aus dem Reellen fortgesetzte Operation und die komplexe Multiplikation)

(ebenso für ) und

(ebenso für ). Wir betrachten auf die -Graduierung, bei der den Grad und den Grad bekommen. Die Operation der Gruppe ist homogen bezüglich dieser Graduierung. Daher ist der Invariantenring ein graduierter Unterring. Auf der -ten Stufe des Ringes ist die Operation für durch gegeben. Für ist dies die Identität, sodass die -te Stufe invariant ist. Für gibt es mit , sodass es außer keine weiteren invarianten Polynome gibt. Der Invariantenring ist also die -te Stufe. Diese besteht aus Linearkombinationen von Monomen der -ten Stufe, und ein Monom vom nullten Grad muss ein Produkt der Elemente sein. Der Invariantenring ist also

Wir kehren zur reellen Situation zurück. Es sei ein invariantes Polynom. Dann gibt es ein komplexes Polynom in vier Variablen mit

Mit Hilfe der komplexen Konjugation sieht man, dass es auch ein reelles Polynom mit dieser Eigenschaft geben muss. Daher gilt für den reellen Invariantenring

Für den Zusatz siehe Aufgabe.