Die Invarianz der angegebenen Polynome sowie ihre inhaltliche Bedeutung wurden schon in
Beispiel
bemerkt. Wir betrachten die Erweiterung
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Die angegebene Operation der auf dem reellen Polynomring lässt sich direkt auf den komplexen Polynomring fortsetzen, da das Gruppenelement
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durch etc. wirkt, und diese Ringhomomorphismen reell oder komplex aufgefasst werden können.
Ein Polynom ist genau dann invariant, wenn es aufgefasst in invariant ist. Wir führen neue komplexe Variablen ein, nämlich
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Es bestehen die Beziehung
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-
-
und
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Die beiden letzten Gleichungen zeigen, dass sich umgekehrt auch
und
durch
und
ausdrücken lassen. Die beiden Systeme erzeugen also die gleiche
-Unteralgebra
von
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Wir schreiben die Elemente der operierenden Gruppe als
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wobei wir die Drehgruppe mit den komplexen Zahlen vom Betrag
(zusammen mit der komplexen Multiplikation)
identifizieren. Die Operation wird dann zu
( bezeichne die aus dem Reellen fortgesetzte Operation und die komplexe Multiplikation)
(ebenso für )
und
(ebenso für ).
Wir betrachten auf die
-Graduierung,
bei der den Grad und den Grad bekommen. Die Operation der Gruppe ist
homogen
bezüglich dieser Graduierung. Daher ist der Invariantenring ein graduierter Unterring. Auf der -ten Stufe des Ringes ist die Operation für durch gegeben. Für
ist dies die Identität, sodass die -te Stufe invariant ist. Für
gibt es mit , sodass es außer keine weiteren invarianten Polynome gibt. Der Invariantenring ist also die -te Stufe. Diese besteht aus Linearkombinationen von Monomen der -ten Stufe, und ein Monom vom nullten Grad muss ein Produkt der Elemente sein. Der Invariantenring ist also
Wir kehren zur reellen Situation zurück. Es sei ein invariantes Polynom. Dann gibt es ein komplexes Polynom in vier Variablen mit
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Mit Hilfe der
komplexen Konjugation
sieht man, dass es auch ein reelles Polynom mit dieser Eigenschaft geben muss. Daher gilt für den reellen Invariantenring
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Für den Zusatz siehe
Aufgabe.