Kongruente geordnete Dreiecke/Verschiebungen rausdividieren/Beispiel

Wir betrachten die Menge der Dreiecke, aufgefasst mit der Operation der Kongruenzabbildungen, siehe Beispiel. Die Vektoren ${}v\in \mathbb {R} ^{2}$ fasst man als Verschiebungen ${}T_{v}$ und damit als Kongruenzabbildungen auf. Mit einer beliebigen Kongruenz ${}\varphi$ besteht die Beziehung ${}\varphi \circ T_{v}=T_{\varphi (v)}\circ \varphi$. Daher bilden die Verschiebungen einen Normalteiler in der Kongruenzgruppe ${}G$ (der uneigentlichen affinen Isometriegruppe). Nach Fakt kann man den Invariantenring ${}\mathbb {R} [X_{1},Y_{1},X_{2},Y_{2},X_{3},Y_{3}]^{G}$ sukzessive berechnen. Unter der Untergruppe ${}V$ der Verschiebungen ist der Invariantenring offenbar gleich

$\mathbb {R} [X_{1},Y_{1},X_{2},Y_{2},X_{3},Y_{3}]^{V}=\mathbb {R} [X_{1}-X_{3},Y_{1}-Y_{3},X_{2}-X_{3},Y_{2}-Y_{3}]\,.$

Dieser Übergang entspricht geometrisch der Verschiebung des dritten Eckpunktes in den Nullpunkt. Die Operation der Restklassengruppe, die ja die uneigentliche Drehgruppe ist, auf diesem Polynomring in vier Variablen (die wir jetzt ${}U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}$ nennen) rührt von der natürlichen (und linearen) Operation der Drehgruppe auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ her. Die Determinante induziert einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \{1,-1\},$

deren Kern die eigentliche Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ ist (das Urbild von ${}-1$ bilden die Drehspiegelungen). Daher gibt es eine natürliche Operation der ${}\mathbb {Z} /(2)$ auf

$\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}},$

und man sollte zuerst diesen Invariantenring ausrechnen. Aufgrund der geometrischen Interpretation (die drei Quadrate der Längen des Dreiecks, das Skalarprodukt der Seiten am Nullpunkt, der orientierte Flächeninhalt (bis auf Skalierung)) müssen

$U_{1}^{2}+V_{1}^{2},\,U_{2}^{2}+V_{2}^{2},\,{\left(U_{1}-U_{2}\right)}^{2}+{\left(V_{1}-V_{2}\right)}^{2},\,U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},\,U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}$

invariante Polynome sein, was man auch direkt durch Rechnungen bestätigen kann. Das Skalarprodukt ist dabei unmittelbar mit den ersten drei Längenquadraten polynomial ausdrückbar. Da die drei Längen zwar die unorientierte Kongruenzklasse des Dreiecks bestimmen, es zu einem (nicht entarteten) Längentripel aber zwei entgegengesetzt orientierte Dreiecke gibt, muss es ein weiteres ${}\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$-invariantes Polynom geben, das aber nicht ${}\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$-invariant ist, sondern Orientierungswechsel respektiert. Die Orientierung ist am fünften Polynom, der Determinante, ablesbar. Die drei Längenquadrate und die Determinante bestimmen die orientierte Kongruenzklasse des Dreiecks eindeutig, somit repräsentieren diese vier Funktionen die Quotientenabbildung. Das Quadrat der Determinante kann man als Polynom in den Längenquadraten ausdrücken (beispielsweise ausgehend von der Heronschen Flächenformel).