Drehgruppe auf R^2/Zwei Punkte/Invariantenring/Fakt

Die Drehgruppe

{SO}_{2} (ℝ) = {(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}) ∣ α \in [0, 2 π)}

operiere linear und simultan auf dem $ℝ^{4} = ℝ^{2} \times ℝ^{2}$ .

Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring $ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]$ gleich

$ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]^{{SO}_{2} (ℝ)} = ℝ [U_{1}^{2} + V_{1}^{2}, U_{2}^{2} + V_{2}^{2}, U_{1} U_{2} + V_{1} V_{2}, U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1}] .$

Dabei sind die ersten drei Erzeuger algebraisch unabhängig, und das Quadrat von $U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1}$ lässt sich durch die ersten drei Erzeuger ausdrücken.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen