Drehgruppe auf R^2/Zwei Punkte/Invariantenring/Fakt

Die Drehgruppe

${}\operatorname {SO} _{2}\,(\mathbb {R} )={\left\{{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\mid \alpha \in [0,2\pi )\right\}}\,$

operiere linear und simultan auf dem ${}\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}$.

Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring ${}\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]$ gleich

$\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\,(\mathbb {R} )}=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}]\,.$

Dabei sind die ersten drei Erzeuger algebraisch unabhängig, und das Quadrat von ${}U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}$ lässt sich durch die ersten drei Erzeuger ausdrücken.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen