Dreieck/Feuerbachkreis/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

(1). Es sei der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks, den wir als Ursprung eines kartesischen Koordinantensystems ansetzen. Wir betrachten dann den Punkt

Der Mittelpunkt der Dreiecksseite durch und besitzt zu den Abstand

Da die Normen von allen Eckpunkten nach Wahl von gleich sind, ist der Umkreismittelpunkt des Seitenmittelpunktsdreiecks und der Radius ist die Hälfte des Umkreisradius.

(2). Nach Fakt ist der Höhenschnittpunkt. Daher ist der Mittelpunkt der Strecke von zum Höhenschnittpunkt gleich

Der Abstand davon zu ist

(3). Zunächst liegen die unter (1) bzw. (2) konstruierten Punkte auf dem Kreis gegenüber. Es ist ja

der Mittelpunkt von . Somit bilden ein Seitenmittelpunkt, der gegenüberliegende Halbierungspunkt zwischen Eckpunkt und Höhenschnittpunkt und der entsprechende Höhenfußpunkt ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Thaleskreis ist stets der Feuerbachkreis.