Dreieck/Feuerbachkreis/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es sei ${}U$ der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks, den wir als Ursprung eines kartesischen Koordinantensystems ansetzen. Wir betrachten dann den Punkt

   ${}U'={\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}\,.$

   Der Mittelpunkt ${}A'={\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}$ der Dreiecksseite durch ${}B$ und ${}C$ besitzt zu ${}U'$ den Abstand

   ${}\Vert {{\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}-U'}\Vert =\Vert {{\frac {1}{2}}{\left(B+C\right)}-{\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}}\Vert ={\frac {1}{2}}\Vert {A}\Vert \,.$

   Da die Normen von allen Eckpunkten ${}A,B,C$ nach Wahl von ${}U$ gleich sind, ist ${}U'$ der Umkreismittelpunkt des Seitenmittelpunktsdreiecks und der Radius ist die Hälfte des Umkreisradius.

2. Nach Fakt ist ${}A+B+C$ der Höhenschnittpunkt. Daher ist der Mittelpunkt der Strecke von ${}A$ zum Höhenschnittpunkt gleich

   ${}{\frac {1}{2}}(A+B+C)+{\frac {1}{2}}A=A+{\frac {1}{2}}(B+C)\,.$

   Der Abstand davon zu ${}U'$ ist

   ${}\Vert {{\frac {1}{2}}(A+B+C)-{\left(A+{\frac {1}{2}}(B+C)\right)}}\Vert =\Vert {-{\frac {1}{2}}A}\Vert ={\frac {1}{2}}\Vert {A}\Vert \,.$

3. Zunächst liegen die unter (1) bzw. (2) konstruierten Punkte auf dem Kreis ${}F$ gegenüber. Es ist ja

   ${}{\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{2}}(B+C)\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(A+{\frac {1}{2}}(B+C)\right)}={\frac {1}{2}}{\left(A+B+C\right)}\,$

   der Mittelpunkt von ${}F$. Somit bilden ein Seitenmittelpunkt, der gegenüberliegende Halbierungspunkt zwischen Eckpunkt und Höhenschnittpunkt und der entsprechende Höhenfußpunkt ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Thaleskreis ist stets der Kreis ${}F$.

Zur bewiesenen Aussage