Dreieck/Grundseite fixiert/Flächeninhalt und Umfang/Gradient/Aufgabe/Lösung

1. Die Grundseite des Dreieckes hat die Länge ${}2$, die Höhe des Dreieckes ist ${}y$, daher ist der Flächeninhalt gleich ${}y$.
2. Der Dreiecksumfang ist

   ${}U(x,y)=2+{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\,.$

3. Nach Fakt ergibt sich die stärkste Änderung des Flächeninhalts in Richtung des Gradienten der Flächenfunktion, dieser ist

   ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.$

4. Nach Fakt ergibt sich die stärkste Änderung des Umfanges in Richtung des Gradienten der Umfangsfunktion. Die partiellen Ableitungen sind

   ${}{\frac {\partial U}{\partial x}}={\frac {x+1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {x-1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}\,$

   und

   ${}{\frac {\partial U}{\partial y}}={\frac {y}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {y}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}\,.$

   Daher ist der Gradient in einem Punkt ${}(x,y)$ gleich

   ${\begin{pmatrix}{\frac {x+1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {x-1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}\\{\frac {y}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {y}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe