Dreieck/Umfang und Flächeninhalt/1/Aufgabe/Lösung

1. Der Umfang des Dreiecks ist

   ${}{\begin{aligned}\Vert {{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}}\Vert +\Vert {{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}}\Vert +\Vert {{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}}\Vert &=\Vert {\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}\Vert +\Vert {\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}\Vert +\Vert {\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\Vert \\&={\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}+{\sqrt {25}}\\&={\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}+5\,\end{aligned}}$

2. Wegen

   ${}{\sqrt {37}}\geq 6\,$

   und

   ${}{\sqrt {34}}\geq 5\,$

   ist der Umfang nach unten durch

   ${}{\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}+5\geq 16\,$

   beschränkt. Wir zeigen

   ${}{\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}+5\leq 17\,,$

   was zu

   ${}{\sqrt {37}}+{\sqrt {34}}\leq 12\,$

   äquivalent ist. Quadrieren ergibt

   ${}37+34+2{\sqrt {37\cdot 34}}=71+2{\sqrt {1258}}\leq 144\,$

   bzw.

   ${}2{\sqrt {1258}}\leq 73\,.$

   Erneutes Quadrieren ergibt

   ${}4\cdot 1258=5032\leq 5329\,,$

   was wahr ist.

3. Die beiden Dreiecksseiten, die von ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ ausgehen, sind in vektorieller Form gleich

   ${\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}$

   Daher ist der Kosinus des eingeschlossenen Winkels ${}\alpha$ nach Bemerkung gleich

   ${}{\begin{aligned}\cos \alpha &={\frac {\left\langle {\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}\right\rangle }{\Vert {\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\Vert \cdot \Vert {\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}\Vert }}\\&={\frac {18-4}{5{\sqrt {37}}}}\\&={\frac {14}{5{\sqrt {37}}}}.\end{aligned}}$

4. Die Höhe durch ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ steht senkrecht auf der Geraden durch die beiden Punkte ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$, also auf ${}{\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}$. Der Richtungsvektor der Höhe ist somit ${}{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$. Eine Parameterglechung hat daher die Form

   ${\left\{{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}.$

5. Die Koordinaten des Höhenfußpunktes ergeben sich aus der Lösung des linearen Gleichungssystems

   ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\,$

   bzw.

   ${}{\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}}=-s{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}\,.$

   Dies führt auf ${}t={\frac {14}{25}}$ und ${}s=-{\frac {27}{25}}$, der Höhenfußpunkt ist also

   ${}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}-{\frac {27}{25}}{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {17}{25}}\\-{\frac {31}{25}}\end{pmatrix}}\,.$

6. Mit der Determinantenformel (siehe Aufgabe) ist der Flächeninhalt gleich

   ${}{\frac {1}{2}}\det {\begin{pmatrix}3&6\\-4&1\end{pmatrix}}={\frac {27}{2}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe