Dreifacher Münzwurf/Paarweise unabhängig und unabhängig/Beispiel

Wir betrachten einen dreifachen Münzwurf, also den Wahrscheinlichkeitsraum ${}\{Z,K\}^{3}$ mit ${}p={\frac {1}{2}}$. Das Ereignis, dass bei den ersten beiden Würfen das gleiche Ergebnis herauskommt (also beide Mal Kopf oder beidemal Zahl), sei mit ${}E$ bezeichnet, das Ereignis, dass beim ersten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit ${}F$ bezeichnet, und das Ereignis, dass beim zweiten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit ${}G$ bezeichnet. Wir behaupten, dass diese Ereignisse paarweise unabhängig sind, aber nicht vollständig unabhängig. Zu ${}E$ gehören genau die Elementarereignisse der Form ${}(K,K,X)$ und ${}(Z,Z,X)$, das sind vier Stück. Somit ist die Wahrscheinlichkeit der Einzelereignisse ${}E,F,G$ stets ${}{\frac {1}{2}}$. Das Ereignis ${}E$ und ${}F$ tritt genau dann ein, wenn alle drei Münzwürfe das gleiche Ergebnis haben, also nur bei ${}(K,K,K)$ oder ${}(Z,Z,Z)$. Die Wahrscheinlichkeit davon ist also

${}P(E\cap F)={\frac {2}{8}}={\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=P(E)\cdot P(F)\,.$

Entsprechendes gilt für die Paare ${}E$ und ${}G$ und ${}F$ und ${}G$. Wenn man dagegen alle drei Ereignisse miteinander schneidet, so ist

${}E\cap F\cap G=\{(K,K,K),(Z,Z,Z)\}=E\cap F=E\cap G=F\cap G\,.$

Die Wahrscheinlichkeit davon ist nach wie vor ${}{\frac {1}{4}}$, aber das Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten ist

${}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{3}={\frac {1}{8}}\,.$