Dreifacher Münzwurf/Paarweise unabhängig und unabhängig/Beispiel

Wir betrachten einen dreifachen Münzwurf, also den Wahrscheinlichkeitsraum $\{Z,K{\}}^3$ mit  $p=\frac{1}{2}$.  Das Ereignis, dass bei den ersten beiden Würfen das gleiche Ergebnis herauskommt (also beide Mal Kopf oder beidemal Zahl), sei mit $E$ bezeichnet, das Ereignis, dass beim ersten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit $F$ bezeichnet, und das Ereignis, dass beim zweiten und beim dritten Wurf das gleiche Ergebnis herauskommt, sei mit $G$ bezeichnet. Wir behaupten, dass diese Ereignisse paarweise unabhängig sind, aber nicht vollständig unabhängig. Zu $E$ gehören genau die Elementarereignisse der Form $(K,K,X)$ und $(Z,Z,X)$, das sind vier Stück. Somit ist die Wahrscheinlichkeit der Einzelereignisse $E,F,G$ stets $\frac{1}{2}$. Das Ereignis $E$ und $F$ tritt genau dann ein, wenn alle drei Münzwürfe das gleiche Ergebnis haben, also nur bei $(K,K,K)$ oder $(Z,Z,Z)$. Die Wahrscheinlichkeit davon ist also

$P(E\cap F)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=P(E)\cdot P(F).$

Entsprechendes gilt für die Paare $E$ und $G$ und $F$ und $G$. Wenn man dagegen alle drei Ereignisse miteinander schneidet, so ist

$E\cap F\cap G=\{(K,K,K),(Z,Z,Z)\}=E\cap F=E\cap G=F\cap G.$

Die Wahrscheinlichkeit davon ist nach wie vor $\frac{1}{4}$, aber das Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten ist

${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}.$